Une analyse dichotomique du paradoxe de l'examen-surprise
décembre
2004
Paul
Franceschi
Université
de Corse
p.franceschi@univ-corse.fr
http ://www.univ-corse.fr/~franceschi
This paper proposes a new framework to solve the surprise examination paradox. I survey preliminary the main contributions to the literature related to the paradox. I expose then a simplified version of the present account. I analyse further the different cases of surprise in more detail. This leads to distinguish between surprise by error, by non-justification and by inappropriate justification. I introduce then a distinction between a monist and a dichotomic analysis of the paradox. With the help of a matrix notation, I also present a dichotomy that leads to distinguish two basically and structurally different notions of surprise, which are respectively based on a conjoint and a disjoint structure. I describe then how Quine's solution applies to the surprise examination paradox corresponding to the conjoint structure. Lastly, I expose a solution to the paradox based on the disjoint structure.
Je
présenterai dans ce qui suit un cadre conceptuel nouveau, en ce sens qu'il
réorganise plusieurs éléments de solution décrits dans la littérature, pour
résoudre le paradoxe de l'examen-surprise
(surprise examination paradox, soit
SEP). La solution proposée ici repose sur les éléments essentiels
suivants : (a) une distinction entre analyse moniste et dichotomique du
paradoxe ; (b) l'introduction d'une définition matricielle, qui sert de
support à différentes variations du paradoxe ; (c) la distinction entre
une définition conjointe ou disjointe des cas de surprise et de non-surprise,
conduisant à deux notions structurellement distinctes de surprise.
Dans la
section 1, je m'attache à décrire le paradoxe et les
principales solutions rencontrées dans la littérature. Je décris ensuite de
manière simplifiée, dans la section 2, la solution au paradoxe qui résulte de
la présente approche. Dans la section 3, j'analyse en détail
les différents cas de surprise. J'introduis ensuite dans la section 4, la distinction entre analyse moniste et dichotomique
du paradoxe. J'y présente également une dichotomie qui permet de distinguer
deux versions fondamentalement et structurellement différentes du
paradoxe : d'une part une version basée sur une structure conjointe des
cas de non-surprise et de surprise ; d'autre part, une version fondée sur
une structure disjointe. Dans la section 5, je décris comment la solution de Quine s'applique
pour la version de SEP correspondant à la structure conjointe des cas de
non-surprise et de surprise. Enfin, dans la section 6, j'expose la solution pour SEP correspondant à la
structure disjointe.
Le paradoxe de
l'examen-surprise trouve son origine dans ce qui constitue un fait réel. En
1943-1944, les autorités suédoises envisagèrent de réaliser un exercice de
défense civile. Elles diffusèrent alors par la radio une annonce selon laquelle
un exercice de défense civile devait se dérouler la semaine suivante.
Cependant, afin que celui-ci se déroule dans des conditions optimales, l'annonce
précisa également que personne ne pourrait connaître à l'avance la date de
l'exercice. Le mathématicien Lennart Ekbom comprit le subtil problème posé par
cette annonce d'un exercice de défense civile et l'exposa à ses étudiants. Le
paradoxe connut ensuite une large diffusion à travers le monde.
SEP est
tout d'abord apparu dans la littérature avec un article de D. O' Connor (1948).
O' Connor présente le paradoxe sous la forme de l'annonce d'un exercice
d'entraînement militaire. Ultérieurement, SEP apparaîtra dans la littérature
sous d'autres formes, telles que l'annonce de l'apparition d'un as dans un jeu
de cartes (Scriven 1951) ou encore d'une pendaison (Quine 1953). Cependant, la
version du paradoxe liée à l'annonce par un professeur d'un examen-surprise est
demeurée la forme la plus courante. La version classique du paradoxe est ainsi
la suivante : un professeur annonce à ses étudiants qu'un examen aura lieu
la semaine prochaine, mais qu'ils ne pourront pas connaître à l'avance le jour
précis où l'examen se déroulera. L'examen aura donc lieu par surprise. Les
étudiants raisonnent ainsi. L'examen ne peut avoir lieu le samedi, pensent-ils,
car sinon ils sauraient à l'avance que l'examen aurait lieu le samedi et donc
il ne pourrait survenir par surprise. Aussi le samedi se trouve-t-il éliminé.
De plus, l'examen ne peut avoir lieu le vendredi, car sinon les étudiants
sauraient à l'avance que l'examen aurait lieu le vendredi et donc il ne
pourrait survenir par surprise. Aussi le vendredi se trouve-t-il également
éliminé. Par un raisonnement analogue, les étudiants éliminent successivement
le jeudi, le mercredi, le mardi et le lundi. Finalement, ce sont tous les jours
de la semaine qui sont ainsi éliminés. Toutefois, cela n'empêche pas l'examen
de survenir finalement par surprise, le mercredi. Ainsi, le raisonnement des
étudiants s'est avéré fallacieux. Pourtant, un tel raisonnement paraît
intuitivement valide. Le paradoxe réside ici dans le fait que le raisonnement
des étudiants est semble-t-il valide, alors qu'il se révèle finalement en
contradiction avec les faits, à savoir que l'examen peut véritablement survenir
par surprise, conformément à l'annonce faite par le professeur.
Dans la
littérature, plusieurs solutions pour résoudre SEP ont été proposées. Il n'existe
toutefois pas, à l'heure actuelle, de solution qui fasse l'objet d'un
consensus. Je citerai brièvement les principales solutions qui ont été
proposées, ainsi que les objections fondamentales qu'elles ont soulevées.
Une
première tentative de solution est apparue avec O' Connor (1948). Cet auteur
fit observer que le paradoxe était dû au caractère contradictoire qui résultait
de l'annonce du professeur et de la mise en œuvre de cette dernière. Selon O'
Connor, l'annonce du professeur selon laquelle l'examen devait survenir par
surprise se trouvait en contradiction avec le fait que les détails de la mise
en œuvre de l'examen étaient connus. Ainsi, l'énoncé de SEP se révélait-il,
selon O' Connor, auto-réfutant. Cependant, il s'est avéré qu'une telle analyse était
inadéquate, car il est finalement apparu que l'examen pouvait véritablement
être mis en œuvre dans des conditions où il survenait par surprise, par exemple
le mercredi. Ainsi, l'examen pouvait finalement survenir par surprise,
confirmant ainsi mais non réfutant, l'annonce du professeur. Cette dernière
constatation avait pour effet de faire resurgir le paradoxe.
Quine
(1953) proposa également une solution pour SEP. Quine considère ainsi la
conclusion finale de l'étudiant selon laquelle l'examen ne peut avoir lieu par
surprise aucun jour de la semaine. Selon Quine, l'erreur de l'étudiant réside
dans le fait de n'avoir pas envisagé dès le début l'hypothèse selon laquelle
l'examen pourrait ne pas avoir lieu le dernier jour. Car le fait de considérer
précisément que l'examen n'aura pas lieu le dernier jour permet finalement à
l'examen de survenir par surprise, le dernier jour. Si l'étudiant avait
également pris en compte cette possibilité dès le début, il ne serait pas
parvenu à la conclusion fallacieuse que l'examen ne peut pas survenir par
surprise. Cependant, la solution de Quine fit l'objet de critiques, émanant de
commentateurs (Ayer 1973, Janaway 1989 et également Hall 1999) qui mirent
l'accent sur le fait que celle-ci ne permettait pas de rendre compte de
plusieurs variations du paradoxe. Ainsi, Ayer imagine une version de SEP où une
personne est informée que les cartes d'un jeu vont être retournées une à une,
mais qu'elle ne saura pas à l'avance lorsque l'as de Pique sortira. Néanmoins,
la personne est autorisée à vérifier la présence de l'as de Pique avant que le
jeu de cartes ne soit mélangé. L'objection à la solution de Quine basée sur une
telle variation a pour but de mettre en évidence une situation où le paradoxe
est bien présent mais où la solution de Quine ne trouve plus à s'appliquer,
parce que l'étudiant sait de manière indubitable, compte tenu des données
initiales du problème, que l'examen aura bien lieu.
Selon
une autre approche, défendue notamment par R. Shaw (1958), la structure du
paradoxe se révèle être auto-référentielle. Selon Shaw, le fait que l'examen
doive survenir par surprise s'assimile au fait que la date de l'examen ne
pourra pas être déduite à l'avance. Mais le fait que les étudiants ne puissent
pas connaître à l'avance, par déduction, la date de l'examen constitue
précisément une des prémisses. Le paradoxe trouve donc son origine, selon Shaw,
dans le fait que la structure de l'annonce du professeur est
auto-référentielle. Selon l'auteur, l'autoréférence qui en résulte constitue ainsi
la cause du paradoxe. Cependant, une telle analyse devait se révéler peu
convaincante, car elle ne permettait pas de rendre compte du fait que malgré sa
structure auto-référentielle, l'annonce du professeur se trouvait finalement
confirmée par le fait que l'examen pouvait finalement survenir par surprise,
par exemple le mercredi.
Une
autre approche, développée par Richard Montague et David Kaplan (1960) est
basée sur l'analyse de la structure de SEP qui s'avère, selon ces auteurs, être
celle du paradoxe du Connaisseur (paradox
of the Knower). Ce dernier paradoxe constitue lui-même une variation du
paradoxe du Menteur (Liar paradox).
Ce que proposent donc en définitive Montague et Kaplan, c'est une réduction de
SEP au paradoxe du Menteur. Mais cette dernière approche ne s'est toutefois pas
avérée convaincante. En effet, elle a été critiquée car elle ne rend pas
compte, d'une part, du fait que l'annonce du professeur peut être finalement
confirmée et d'autre part, du fait que l'on peut formuler le paradoxe de
manière non auto-référentielle.
Il
convient également de mentionner l'analyse développée par Robert Binkley
(1968). Dans son article, Binkley expose une réduction de SEP au paradoxe de
Moore (Moore's paradox). L'auteur
fait valoir que le dernier jour, SEP se réduit à une variation de la
proposition 'P et je ne sais pas que P' qui constitue le paradoxe de Moore.
Binkley étend ensuite son analyse concernant le dernier jour aux autres jours
de la semaine. Cependant, cette approche a fait l'objet de solides objections,
résultant notamment de l'analyse de Wright et Sudbury (1977).
Une
autre approche mérite également d'être mentionnée. Il s'agit de celle
développée par Paul Dietl (1973) et Joseph Smith (1984). Selon les auteurs, la
structure de SEP est celle du paradoxe sorite (sorites paradox). Ce que proposent donc Dietl et Smith, c'est une
réduction de SEP au paradoxe sorite. Toutefois, une telle analyse a rencontré
de sérieuses objections, développées notamment par Roy Sorensen (1988).
Il
convient en outre de mentionner l'approche présentée par Crispin Wright et
Aidan Sudbury (1977). L'analyse développée par ces auteurs[1]
conduit à distinguer deux cas : d'une
part, le dernier jour, l'étudiant se trouve dans une situation qui est
celle qui résulte du paradoxe de Moore ; d'autre part, le premier jour,
l'étudiant se trouve dans une situation fondamentalement différente où il peut
valablement croire dans l'annonce faite par le professeur. Ainsi, la mise en
évidence de ces deux types de situations conduit au rejet du principe de rétention temporelle. Selon
ce dernier principe, ce qui est su à une position temporelle T0 est
également su à une position temporelle ultérieure T1 (avec T0
< T1). Toutefois, l'analyse de Wright et Sudbury s'est révélée
vulnérable à un argument développé par Sorensen (1982). Celui-ci en effet mit
en évidence une version de SEP (Designated
Student Paradox) qui ne faisait pas appel au principe de rétention
temporelle, sur lequel reposait l'approche de Wright et Sudbury. Selon cette
version, le paradoxe était bien présent, mais sans que les conditions de son
exposé ne nécessitent de faire appel au principe de rétention temporelle.
Sorensen décrit ainsi la variation suivante du paradoxe. Cinq étudiants, A, B,
C, D et E se trouvent placés, dans cet ordre, l'un derrière l'autre. Le
professeur montre alors aux étudiants quatre étoiles en argent et une étoile en
or. Puis il place une étoile dans le dos de chacun des étudiants. Enfin, il
leur annonce que celui d'entre eux qui a une étoile en or dans le dos a été
désigné pour passer un examen. Mais, ajoute le professeur, cet examen
constituera une surprise, car les étudiants ne connaîtront celui qui a été
désigné que lorsqu'ils rompront leur alignement. Dans ces conditions, il
apparaît que les étudiants peuvent mettre en œuvre un raisonnement analogue à
celui qui prévaut dans la version originale de SEP. Mais cette dernière version
est diachronique, alors que la variation décrite par Sorensen se révèle en
revanche synchronique. Et en tant que telle, elle n'est donc pas basée sur un
quelconque principe de rétention temporelle.
Compte
tenu de ces éléments, il apparaît que l'enjeu et les implications
philosophiques de SEP sont d'importance. Ils se situent à plusieurs niveaux et
concernent[2]
ainsi la théorie de la connaissance, la déduction, la justification, les
paradoxes sémantiques, l'autoréférence, la logique modale, les notions vagues.
2. Une solution simplifiée
Je commencerai par présenter de
manière simplifiée la solution pour le paradoxe de l'examen-surprise qui
résulte de la présente analyse, avant de m'attacher à décrire ensuite celle-ci
de manière détaillée. Les lignes essentielles de la présente solution peuvent
en effet être décrites assez simplement. Celles-ci peuvent ainsi être
esquissées en considérant ce qu'aurait dû être le raisonnement de l'étudiant.
Voici en effet, en vertu de la présente analyse, comment l'étudiant aurait dû
raisonner, après avoir entendu l'annonce du professeur. Il aurait dû tout
d'abord remarquer que deux conceptions sémantiquement distinctes de la
surprise, susceptibles d'influer sur le raisonnement à tenir, se révèlent
possibles. Il aurait pu observer également que le professeur n'a pas précisé,
lors de son annonce, à laquelle de ces deux conceptions il se référait. Le
professeur se réfère donc indifféremment, aurait pu poursuivre l'étudiant, à
l'une ou à l'autre de ces conceptions de la surprise. Par conséquent, il est
nécessaire d'envisager successivement les deux notions possibles de surprise,
et le raisonnement à tenir pour chaque cas.
En
premier lieu, il apparaît que la surprise peut correspondre à une définition conjointe des cas de non-surprise et de
surprise. Une telle définition est telle que la non-surprise et la surprise
sont à la fois possibles, par exemple le dernier jour. Une telle situation peut
notamment se produire si l'étudiant commence par raisonner en éliminant
successivement, le dernier jour, l'avant-dernier jour, ..., puis le 2ème jour,
et enfin le 1er jour de la période visée par l'annonce du professeur, en
considérant que l'examen ne peut survenir par surprise aucun de ces jours-là.
Après avoir éliminé ainsi tous les jours de la période par un raisonnement basé
sur une induction-arrière (backward
induction argument), l'étudiant conclut alors que l'examen ne peut avoir
lieu aucun jour de la période considérée. Mais ceci a précisément pour effet de
permettre à la surprise de se produire, notamment si l'examen survient le
dernier jour, puisque l'étudiant s'attend alors à ce que l'examen n'ait pas
lieu. De manière tout à fait plausible, une telle situation correspond alors à
un cas de surprise. Dans une telle situation, l'erreur de raisonnement, ainsi
que l'a fait valoir Quine (1953), réside dans le fait que l'étudiant n'a pas
considéré comme un cas possible le fait que l'examen survienne par surprise le
dernier jour. Cependant, puisqu'une telle situation est finalement susceptible
de se présenter, l'étudiant aurait dû la prendre en considération depuis le
début, ce qui l'aurait alors empêché d'éliminer successivement les jours n, n-1,
n-2, ..., 2, puis 1 [3].
On peut remarquer en outre que la notion de surprise associée à une structure
conjointe est une notion de surprise totale. On se trouve en effet en présence
le dernier jour de non-surprise ou de surprise totale, sans qu'il existe dans
ce cas de situations intermédiaires.
En
second lieu, il s'avère que la surprise aurait pu également correspondre à une
définition disjointe des cas de
non-surprise et de surprise. Une telle définition correspond au cas où la
non-surprise et la surprise ne sont pas possibles le même jour. L'intuition sur
laquelle repose une telle conception de la surprise est la suivante :
supposez que l'on vous annonce que vous allez subir dans l'année un examen,
tout en ignorant par ailleurs le jour précis où il se déroulera. Dans un tel
cas, ne résulte-t-il pas de notre expérience que l'examen peut véritablement se
produire par surprise, de nombreux jours de l'année, par exemple un jour
quelconque des six premiers mois. Un tel phénomène constitue un fait concret
qui correspond à l'expérience individuelle de chacun d'entre nous. Dans
l'énoncé classique du paradoxe de l'examen-surprise, la période considérée
n'est pas aussi longue qu'une année, mais correspond classiquement à une
semaine. Cependant, dans ce dernier cas, l'énoncé du paradoxe laisse également
place, bien qu'à un moindre degré, à une telle conception de la surprise
associée à une structure disjointe des cas de non-surprise et de surprise. En
effet, il apparaît ainsi que l'examen peut effectivement survenir par surprise,
par exemple le 2ème jour de la semaine. Le 2ème jour constitue ainsi une
instance propre de surprise. Parallèlement, le dernier jour constitue une
instance propre de non-surprise, puisqu'il résulte de l'énoncé que l'examen ne
peut avoir lieu ce jour-là par surprise. Ainsi, le dernier jour correspond à
une instance propre de non-surprise, et de même, les 1er et 2ème jours
constituent des instances propres de surprise. Cependant, à ce stade, il apparaît
également que le statut des autres jours de la période correspondante n'est pas
déterminé. Ainsi, une telle structure disjointe des cas de non-surprise et de
surprise est à la fois disjointe et non-exhaustive. Par conséquent, il apparaît
que la notion de surprise correspondante présente ici les critères d'une notion
vague. Et ceci met en lumière le
raisonnement que l'étudiant aurait dû tenir. La notion de surprise associée à
une structure conjointe étant une notion vague, il existe nécessairement une
zone de pénombre entre les instances propres de non-surprise et de surprise,
qui correspond à l'existence de cas limites. Une telle zone de pénombre peut
résulter de l'existence de degrés de surprise, ou bien de cas dont la nature de
non-surprise ou de surprise, bien que déterminée avec précision, n'est
cependant pas accessible à notre connaissance. Mais dans tous les cas, il
existe bien une zone de pénombre associée à des cas limites, dans la structure
de la définition de la surprise correspondante. Et la seule existence de ces
cas limites interdit d'éliminer successivement, par un raisonnement basé sur
une induction-arrière, les jours n, n-1, n-2,
..., 2, puis 1. On le voit, à la différence de la notion de surprise
précédente, la notion de surprise qui est associée à une structure conjointe
conduit ici à l'existence de cas intermédiaires entre la non-surprise et la
surprise.
Finalement,
il apparaît que le fait d'envisager successivement les deux notions différentes
de surprise qui peuvent correspondre à l'annonce du professeur, conduit à
rejeter dans les deux cas le raisonnement classique de l'étudiant qui le
conduit à éliminer successivement tous les jours de la semaine. Ici, la
motivation pour rejeter le raisonnement de l'étudiant se révèle différente pour
chacune des deux notions de surprise, mais dans les deux cas, il s'ensuit une
conclusion convergente qui conduit au rejet du raisonnement de l'étudiant basé
sur une induction-arrière.
3. Les
différents cas de surprise
Les éléments du paradoxe et une
analyse simplifiée ayant été présentés, il convient maintenant de s'attacher à
décrire en détail la présente solution pour SEP. Commençons tout d'abord avec
la notion de surprise[4].
Qu'est-ce qui constitue véritablement un cas de surprise? Comment la surprise
peut-elle être définie dans le contexte de SEP? En premier lieu, on peut
observer que la surprise apparaît de manière claire lorsque l'examen survient
le jour k et que l'étudiant ne
prévoit pas que l'examen se déroulera le jour k. La situation correspondante peut revêtir deux formes
différentes : soit (a) l'examen survient le jour k mais l'étudiant prédit que l'examen aura lieu un jour p différent de k (formellement, p ¹ k, avec
1 £ p £ n) ;
soit (b) l'examen survient de même le jour k
mais l'étudiant considère que l'examen n'aura pas lieu du tout (la prédiction
associée est alors dénotée par p =
0). Ces deux situations peuvent être prises en compte de manière unifiée, en
considérant de manière générale que la surprise se présente sans ambiguïté
lorsque l'examen survient le jour k
et que l'étudiant prédit que l'examen surviendra un jour p qui est lui-même différent de k
(formellement, p ¹ k, avec
0 £ p £ n). De
manière intuitive, dans cette dernière situation, la surprise provient du fait
que l'étudiant a effectué une prédiction erronée. Ainsi, une telle situation
peut être dénommée surprise par erreur.
Alors
que la prédiction correspondante est fausse
en cas de surprise par erreur, il est utile de distinguer également selon
qu'une telle prédiction est justifiée ou non. En effet, la prédiction
correspondante peut par exemple être effectuée au hasard. Dans ce cas, une
telle prédiction n'est pas justifiée. En revanche, il est possible également
que l'étudiant effectue une prévision fausse, mais qui s'avère cependant
justifiée[5].
Il s'agit là d'un type de surprise par erreur qui correspond en particulier au
cas où l'examen a lieu le jour i et
où l'étudiant a prédit de manière erronée mais pourtant justifiée (par
l'annonce du professeur et le raisonnement qui en résulte) que l'examen
n'aurait lieu aucun jour de la semaine et donc n'aurait pas lieu le jour i. On le voit, dans un tel cas, la
prédiction effectuée par l'étudiant est à la fois fausse et justifiée.
Cependant, la justification correspondante se révèle inadéquate. Un tel cas
peut être dénommé surprise par
justification inadéquate.
On peut
considérer également un autre type de situation, où la surprise peut survenir
alors même que la prédiction effectuée par l'étudiant se révèle vraie. Pour
mettre en échec l'annonce du professeur, l'étudiant décide ainsi de mettre en
œuvre la stratégie suivante ; le jour 1, je prédirai que l'examen se
déroulera le jour 1 ; le jour 2, je prédirai que l'examen se déroulera le
jour 2 ; ... ; le jour n,
je prédirai que l'examen se déroulera le jour n. De la sorte, pense l'étudiant, je suis sûr que ma prédiction
sera toujours vraie. Appelons une telle stratégie incrémentale. Il apparaît en effet que cette dernière stratégie a
pour conséquence que la prédiction correspondante se révélera systématiquement
vraie[6].
Dans ces conditions, on observe tout d'abord que la surprise par erreur ne peut plus se manifester.
Cependant, la surprise n'est elle pas possible malgré tout lorsque la stratégie
incrémentale est mise en œuvre? La situation correspondante peut être mise en
évidence de manière plus nette en considérant par exemple 365-SEP [7].
Dans ce cas, quelle que soit la date finale de l'examen, la prédiction de
l'étudiant se révélera vraie, à cause de la stratégie incrémentale utilisée par
ce dernier. Toutefois, on peut considérer que l'examen pourra quand même
survenir par surprise dans de telles circonstances, par exemple le jour 127.
Certes, la prédiction de l'étudiant se révélera vraie. Mais cette dernière
prédiction ne sera pas motivée, de sorte que la prédiction correspondante se
révélera finalement injustifiée. Par
conséquent, on peut considérer que la surprise peut également survenir dans le
contexte où la stratégie incrémentale est mise en œuvre. Mais ce dernier type
de surprise, à la différence de la surprise par erreur, n'est pas dû à une
prédiction erronée. La surprise qui apparaît dans le contexte de la stratégie
incrémentale est due au défaut de justification de la prédiction
correspondante. Par conséquent, ce type de surprise peut être dénommé surprise par non-justification.
A ce
stade, nous sommes désormais en mesure de donner une définition de la notion de
surprise. Une telle définition inclut les trois types de surprise qui viennent
d'être mentionnés : la surprise par erreur,
par justification inadéquate et par non-justification. Ceci conduit à
distinguer finalement cinq types de prévisions : (a) vraie et justifiée de
manière adéquate ; (b) vraie et non justifiée ; (c) vraie et
justifiée de manière inadéquate ; (d) fausse et non justifiée ; (e)
fausse et justifiée de manière inadéquate. On le voit, la non-surprise correspond à (a) une prévision qui est à la fois vraie
et justifiée de manière appropriée. De même, il s'ensuit une définition de la surprise dont la structure est
disjonctive : la surprise
correspond ainsi à une prévision (b) vraie et non justifiée, (c) justifiée de
manière inadéquate, (d) fausse et non justifiée, ou bien (e) justifiée de
manière inadéquate.
Dans ce
qui suit, la prévision p effectuée le
jour d sera dénotée par dapb (avec
1 £ d £ n, 0 £ p £ n, a Î {0, 1}, et b Î {-1, 0, 1}), avec a = 1 si l'examen a lieu le jour d ou a = 0 si
l'examen n'a pas lieu le jour d ;
et b = -1 si la prévision de l'étudiant est
injustifiée, b = 0 si sa prévision est
justifiée de manière inadéquate, b = 1 si
la prévision de l'étudiant est justifiée de manière adéquate. Par commodité, on
utilisera respectivement {°, *} pour dénoter les valeurs {0, 1} prises par a et {-, °, *} pour dénoter les valeurs {-1, 0, 1}
prises par b. Avec cette notation, la
surprise par erreur est dénotée par k*pb (avec 1 £ k £ n, 0 £ p £ n et k
¹ p), la
surprise par non-justification par k*p-
(avec 1 £ k £ n, 0 £ p £ n), la surprise par justification inadéquate par k*p°. Enfin, la non-surprise est dénotée
par k*k*. Le tableau ci-dessous
synthétise l'ensemble des situations ainsi décrites :
cas |
prévision |
forme |
valeurs |
exemple |
description |
non-surprise |
vraie
et justifiée de manière adéquate |
k*k* |
a = 1 b = 1 |
7*7* |
l'examen a eu lieu le
7ème jour et l'étudiant a prédit de manière exacte et avec une justification
adéquate que l'examen aurait lieu le 7ème jour |
surprise |
vraie
et non justifiée |
k*k- |
a = 1 b = -1 |
6*6- |
l'examen a eu lieu le
6ème jour et l'étudiant a prédit, de manière exacte mais sans justification,
que l'examen aurait lieu le 6ème jour |
vraie
et justifiée de manière inadéquate |
k*k° |
a = 1 b = 0 |
6*6° |
l'examen a eu lieu le
6ème jour et l'étudiant a prédit, de manière exacte mais avec une
justification inadéquate, que l'examen aurait lieu le 6ème jour |
|
fausse
et non justifiée |
k*p- k ¹ p |
a = 1 b = -1 |
6*7- |
l'examen a eu lieu le
6ème jour et l'étudiant a prédit de manière erronée et non justifiée que
l'examen aurait lieu le 7ème jour |
|
fausse
et justifiée de manière inadéquate |
k*p° k ¹ p |
a = 1 b = 0 |
6*0° |
l'examen a eu lieu le
6ème jour et l'étudiant a prédit de manière erronée et avec une justification
inadéquate que l'examen n'aurait lieu aucun jour de la semaine |
Enfin,
on pourra remarquer que la définition de la surprise qui précède est basée sur
des instances positives, c'est-à-dire
des cas où l'examen survient véritablement. Ainsi, k*0b et k*kb dénotent un cas où l'examen se
déroule véritablement le jour k (a = 1). En effet, les prévisions correspondant à un
jour où l'examen ne survient pas (a = 0)
ne sont pas prises en considération. De telles prévisions qui correspondent à
une prédiction effectuée un jour k où
l'examen ne survient pas présentent la structure k°pb. Mais ces derniers cas
correspondent à des instances négatives
(l'examen n'a pas lieu le jour considéré) et leur cas peut par conséquent être
légitimement ignoré.
4.
Analyse moniste ou dichotomique du paradoxe
La plupart des analyses
classiquement proposées pour résoudre SEP sont basées sur une solution générale
qui s'applique, de manière globale, à la situation qui est celle de SEP. Dans
ce type d'analyse, une solution unique est présentée, qui est censée
s'appliquer à toutes les variations de SEP. Un tel type de solution présente
une nature unitaire et se révèle basée sur ce qu'on peut appeler une théorie moniste de SEP. La plupart des solutions
pour SEP proposées dans la littérature constituent des analyses monistes. Des
exemples caractéristiques de ce type d'analyse de SEP sont les solutions
proposées par Quine (1953) ou Binkley (1968). De manière analogue, la solution
envisagée par Dietl (1973) qui est basée sur une réduction de SEP au paradoxe
sorite constitue également une solution moniste pour SEP.
A
l'inverse, une analyse dichotomique de SEP est basée sur une distinction entre
deux scénarios différents de SEP et sur la formulation d'une solution indépendante pour chacun des deux
scénarios. Dans la littérature, la seule analyse qui présente une nature
dichotomique, à ma connaissance, est celle de Wright et Sudbury mentionnée plus
haut. Dans ce qui suit, je présenterai une solution dichotomique pour SEP.
Cette solution est basée sur la distinction de deux variations de SEP,
associées à des notions de surprise correspondant à des structures différentes
des cas de non-surprise et de surprise.
A ce
stade, il s'avère utile d'introduire la notation matricielle. Si l'on considère
par exemple 7-SEP, les différents cas de non-surprise et de surprise peuvent
être modélisés à l'aide du tableau S[k,
s] suivant, où k dénote le jour où l'examen a lieu et S[k, s] dénote si le cas
correspondant de non-surprise (s = 0)
ou de surprise (s = 1) est rendu
possible (S[k, s] = 1) ou non (S[k, s] = 0) par les conditions de l'énoncé
(pour 1 £ k £ n). Dans ce contexte, S[7, 1] = 0 dénote par exemple le fait que la
surprise n'est pas possible le 7ème jour, et inversement, S[7, 1] = 1 dénote le
fait que la surprise est possible le 7ème jour ; de même, S[1, 0] = 0
dénote le fait que la non-surprise n'est pas possible le 1er jour par les
conditions de l'énoncé, et inversement,
S[1, 0] = 1 dénote le fait que la non-surprise est possible le 1er jour.
La
dichotomie sur laquelle est basée la présente solution résulte directement de
l'analyse de la structure qui permet de décrire la notion de surprise
correspondant à l'énoncé de SEP. Considérons tout d'abord la matrice suivante,
qui correspond à une définition maximale,
où tous les cas de non-surprise et de surprise sont rendus possibles par
l'annonce du professeur :
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
|
S[7,s] |
1 |
1 |
|
S[6,s] |
1 |
1 |
|
S[5,s] |
1 |
1 |
|
S[4,s] |
1 |
1 |
|
S[3,s] |
1 |
1 |
|
S[2,s] |
1 |
1 |
|
S[1,s] |
1 |
1 |
Au niveau de (D1), on le voit, toutes les valeurs de la matrice S[k, s]
sont égales à 1, ce qui correspond au fait que tous les cas de non-surprise et
de surprise sont rendus possibles par la version de SEP correspondante. La
matrice associée peut être définie ainsi comme une matrice rectangulaire.
A ce
stade, il s'avère que l'on peut concevoir des variations de SEP associées à des
structures matricielles plus restrictives, où certains cas de non-surprise et
de surprise ne sont pas autorisés par l'énoncé. Dans de tels cas, certaines
valeurs de la matrice sont égales à 0. Il convient maintenant de s'intéresser à
la structure de ces définitions plus restrictives. Ces dernières sont telles
qu'il existe au moins un cas de non-surprise ou de surprise qui est rendu
impossible par l'énoncé, et où la valeur correspondante de la matrice S[k, s]
est donc égale à 0. Une telle condition laisse place à un certain nombre de
variations, dont il convient maintenant d'étudier les caractéristiques.
De manière préliminaire, on
peut remarquer que certains types de structures peuvent d'emblée être écartés.
Il apparaît en effet que toute définition associée à une restriction de (D1) ne convient pas. Ainsi, il existe des conditions
minimales pour l'émergence de SEP. En ce sens, une première condition est que
l'étape de base soit présente. Cette
étape de base est telle que la non-surprise doit pouvoir survenir le dernier
jour, soit S[n, 0] = 1. Avec la
notation précédemment définie, elle présente la forme générale n*n*
et correspond à 7*7* pour 7-SEP. En l'absence de cette étape de base, on n'a
pas l'effet paradoxal de SEP. En conséquence, une structure de matrice telle S[n, 0] = 0 peut être d'emblée éliminée.
Une
seconde condition pour que l'énoncé conduise à une version authentique de SEP
est que l'examen puisse finalement survenir par surprise. Ceci permet en effet
à l'annonce du professeur d'être finalement vérifiée (vindication step). Une telle condition - appelons-la l'étape de validation - est classiquement
mentionnée comme une condition pour l'émergence du paradoxe. Ainsi, une
définition qui serait telle que tous les cas de surprise sont rendus
impossibles par l'énoncé correspondant ne conviendrait également pas. Ainsi, la
structure correspondant à la matrice suivante ne correspondrait pas non plus à
un énoncé de SEP :
(D2) |
|
S[k, 0] |
S[k, 1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
1 |
0 |
|
S[5,s] |
1 |
0 |
|
S[4,s] |
1 |
0 |
|
S[3,s] |
1 |
0 |
|
S[2,s] |
1 |
0 |
|
S[1,s] |
1 |
0 |
car la surprise n'y est
possible aucun jour de la semaine (S[k,
1] = 0) et l'étape de validation fait donc défaut à l'énoncé correspondant.
Compte
tenu de ce qui vient d'être exposé, on peut maintenant décrire de manière
précise les conditions minimales qui sont celles de SEP :
(C3) S[n, 0] = 1 (étape de base)
(C4) $k (1 £ k £ n) tel
que S[k, 1] = 1 (étape de validation)
A ce
stade, on peut s'intéresser à la structure des versions de SEP basées sur les
définitions qui satisfont les conditions minimales pour l'émergence du paradoxe
qui viennent d'être détaillées, c'est-à-dire qui contiennent à la fois l'étape
de base et l'étape de validation. Il apparaît ici que la structure associée aux
cas de non-surprise et de surprise correspondant à une variation de SEP peut
présenter deux formes d'une nature fondamentalement différente. Une première
forme de SEP est associée à une structure où les cas possibles de non-surprise
et de surprise sont tels qu'il existe durant la n-période au moins un jour où la non-surprise et la surprise sont
possibles simultanément. Une telle définition peut être appelée conjointe. La matrice suivante constitue
un exemple de ce type de structure :
(D5) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
1 |
|
S[6,s] |
1 |
1 |
|
S[5,s] |
1 |
1 |
|
S[4,s] |
1 |
1 |
|
S[3,s] |
0 |
1 |
|
S[2,s] |
0 |
1 |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
car la non-surprise et la
surprise y sont possibles simultanément le 7ème, 6ème, 5ème et 4ème jours.
Cependant, il s'avère que l'on peut rencontrer également une seconde forme de
SEP dont la structure est fondamentalement différente, en ce sens que pour
chaque jour de la n-période, il est
impossible d'avoir simultanément la surprise et la non-surprise.[8]
Une définition de cette nature peut être appelée disjointe. La matrice suivante constitue ainsi un exemple de ce
type de structure :
(D6) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
1 |
0 |
|
S[5,s] |
1 |
0 |
|
S[4,s] |
0 |
1 |
|
S[3,s] |
0 |
1 |
|
S[2,s] |
0 |
1 |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
En conséquence, on sera amené
dans ce qui suit à distinguer deux versions structurellement distinctes de
SEP : (a) une version basée sur une structure conjointe des cas de non-surprise et de surprise rendus possibles
par l'énoncé ; (b) une version fondée sur une structure disjointe de ces mêmes cas. La nécessité
d'opérer une telle dichotomie trouve sa légitimité dans le fait que dans la
version originale de SEP, le professeur ne précise pas si l'on doit prendre en
compte une notion de surprise correspondant à une structure disjointe ou conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Eu égard à ce
point particulier, l'énoncé de SEP se révèle ambigu. Par conséquent, il est
nécessaire de considérer successivement deux notions différentes de surprise,
respectivement basées sur une structure disjointe ou conjointe des cas de
non-surprise et de surprise, ainsi que le raisonnement qui doit leur être
associé.
5. La
notion de surprise correspondant à une structure conjointe
Considérons tout d'abord le cas
où SEP est basé sur une notion de surprise correspondant à une structure
conjointe des cas de non-surprise et de surprise. Soit SEP(I) la version associée
à une telle notion de surprise. Intuitivement, cette version correspond à une
situation où il existe dans la n-période
au moins un jour où la non-surprise et la surprise peuvent à la fois survenir.
Plusieurs types de définitions sont susceptibles de répondre à ce critère. Il
convient de les examiner tour à tour.
5.1 La définition associée à la matrice rectangulaire
et la solution de Quine
En premier lieu, on peut
s'intéresser aux structures qui sont telles que tous les cas de non-surprise et
de surprise sont rendus possibles par l'énoncé. La matrice correspondante est
une matrice rectangulaire. Soit donc
SEP(I□) une telle version. La définition associée à une telle structure
est maximale car tous les cas de non-surprise et de surprise y sont autorisés.
La matrice suivante correspond ainsi à une telle structure générale :
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
|
S[7,s] |
1 |
1 |
|
S[6,s] |
1 |
1 |
|
S[5,s] |
1 |
1 |
|
S[4,s] |
1 |
1 |
|
S[3,s] |
1 |
1 |
|
S[2,s] |
1 |
1 |
|
S[1,s] |
1 |
1 |
et l'annonce du professeur qui
lui est associée est la suivante :
(S7) |
Un examen se déroulera la semaine prochaine mais la
date de l'examen constituera une surprise. |
A ce
stade, il apparaît que l'on a également une version de SEP pour n = 1 qui satisfait cette définition. La
structure associée à 1-SEP(I□) est la suivante :
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
|
S[1,s] |
1 |
1 |
qui correspond à l'annonce
suivante du professeur :
(S8) |
Un examen se déroulera demain mais la date de l'examen
constituera une surprise. |
Ainsi, 1-SEP(I□) est la
version minimale de SEP qui satisfait non seulement la condition ci-dessus,
mais également l'étape de base (C3) selon laquelle la non-surprise doit pouvoir survenir
le dernier jour, ainsi que l'étape de validation (C4) en vertu de laquelle l'examen peut finalement
survenir par surprise. De plus, il s'agit là d'une variation qui exclut, par sa
structure même, l'émergence de la version de SEP basée sur une notion de
surprise correspondant à une structure disjointe. Pour cette raison, (D8) peut être considérée comme la forme canonique de
SEP(I□). Ainsi, il s'agit là du véritable noyau de SEP(I□) et dans
ce qui suit, on s'attachera donc à raisonner sur 1-SEP(I□).
A ce
stade, il convient de s'attacher à donner une solution à SEP(I□). Pour cela,
rappelons tout d'abord la solution de Quine. La solution pour SEP proposée par
Quine (1953) est bien connue. Quine met en évidence le fait que l'étudiant
élimine successivement les jours n, n-1, ..., 1, par un raisonnement basé
sur une induction-arrière et conclut ensuite que l'examen n'aura pas lieu dans
la semaine. L'étudiant raisonne ainsi. Le jour n, je prédirai que l'examen aura lieu le jour n, et par conséquent l'examen ne peut avoir lieu le jour n ; le jour n-1, je prédirai que l'examen aura lieu le jour n-1, et par conséquent l'examen ne peut
avoir lieu le jour n-1 ;
... ; le jour 1, je prédirai que l'examen aura lieu le jour 1, et par
conséquent l'examen ne peut avoir lieu le jour 1. Finalement, l'étudiant
conclut que l'examen n'aura lieu aucun jour de la semaine. La séquence des
prédictions successives de l'étudiant est donc : 1a0b, 2a0b, 3a0b, ..., (n-1)a0b, na0b. Ce dernier prévoit
ainsi que l'examen n'aura lieu aucun jour de la semaine. Mais cette dernière
conclusion permet finalement à l'examen de survenir par surprise, y compris le
jour n. Selon Quine, l'erreur dans le
raisonnement de l'étudiant réside précisément dans le fait de n'avoir pas pris
en compte cette possibilité depuis le début. Car dans cette dernière hypothèse,
l'étudiant aurait alors envisagé les deux principales hypothèses qui sont n*n*
("le dernier jour, je prévoirai que l'examen ne pourra pas avoir lieu par
surprise") et n*0° ("le
dernier jour, je prévoirai que l'examen n'aura lieu aucun jour de la
semaine"), au lieu de la seule hypothèse n*n*, en empêchant ainsi
le raisonnement fallacieux[9].
Quine
d'autre part applique directement son analyse à la forme canonique
1-SEP(I□), où l'énoncé correspondant est celui de (S8). Dans ce cas, l'erreur de l'étudiant réside, selon
Quine, dans le fait de n'avoir considéré qu'une seule hypothèse, à savoir 1*1*.
En fait, l'étudiant aurait dû considérer 4 cas (a) 1*1* ("je prévois que
l'examen ne pourra pas avoir lieu demain par surprise") ; (b) 1°1b ; (c) 1°0b ;
(d) 1*0° ("je prévois que l'examen n'aura pas lieu demain"). Et le
fait de considérer l'hypothèse (a) mais également l'hypothèse (d) qui est
compatible avec l'annonce du professeur aurait empêché l'étudiant de conclure
que l'examen n'aurait finalement pas lieu[10].
Par conséquent, c'est le fait de n'avoir pris en considération que l'hypothèse
(a) qui peut être identifié comme la cause du raisonnement fallacieux. Ainsi,
l'étudiant n'a pris que partiellement en compte l'ensemble des hypothèses
résultant de l'annonce du professeur. S'il avait appréhendé la totalité des
hypothèses pertinentes compatibles avec l'annonce du professeur, il n'aurait
pas conclu de manière fallacieuse que l'examen n'aurait pas lieu dans la
semaine.
A ce
stade, il s'avère utile de décrire le raisonnement de l'étudiant en termes de
reconstitution de matrice. Car on peut considérer que le raisonnement de
l'étudiant le conduit à reconstituer la matrice correspondant à la notion de
surprise de la manière suivante :
(D9) |
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
S[1,s] |
1 |
0 |
alors qu'en réalité, il aurait
dû le faire de la façon correcte suivante :
(D8) |
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
S[1,s] |
1 |
1 |
Dans ce
contexte, il apparaît clairement que la solution de Quine s'applique de manière
adéquate à la version de SEP(I□) basée sur la surprise par erreur ainsi qu'elle vient d'être
définie. En raisonnant par rapport à 1‑SEP(I□), la non-surprise
correspond aux cas suivants : S[1, 0] = {1*1*}. Et de même, la surprise
correspond aux cas où l'étudiant prédit chaque jour - de manière fausse mais
justifiée - que l'examen n'aura lieu aucun jour de la semaine : S[1, 1] =
{1*0°}. Il s'agit là du cas de surprise (e) où la prévision correspondante est
fausse et justifiée de manière inadéquate. On le voit, le cas de surprise (e)
auquel s'applique la solution de Quine correspond bien à un raisonnement tout à
fait plausible et naturel dans le cadre de SEP [11].
5.2 La définition associée à la matrice triangulaire et
la réduction de Hall
On l'a vu, la solution de Quine
s'applique directement à SEP(I□), c'est-à-dire à une version de SEP basée
sur une définition conjointe de la surprise et une matrice rectangulaire. Il
convient maintenant de s'intéresser à des variations de SEP basées sur une
définition conjointe mais où la structure de la matrice correspondante n'est
pas rectangulaire, tout en satisfaisant cependant les conditions pour
l'émergence du paradoxe mentionnées plus haut, à savoir la présence de l'étape
de base (C3) et de l'étape de validation (C4). De telles matrices présentent une structure que
l'on peut qualifier de triangulaire.
Soit donc SEP(I∆) la version correspondante.
On peut
considérer tout d'abord 7-SEP(I∆), où la structure des cas possibles de
non-surprise et de surprise correspond à la matrice ci-dessous :
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
1 |
1 |
|
S[5,s] |
1 |
1 |
|
S[4,s] |
1 |
1 |
|
S[3,s] |
1 |
1 |
|
S[2,s] |
1 |
1 |
|
S[1,s] |
1 |
1 |
et à l'annonce du professeur
suivante :
(S10) |
Un examen se déroulera la
semaine prochaine mais la date de l'examen constituera une surprise. De plus,
le fait que l'examen aura lieu constitue une certitude absolue. |
Une
telle annonce se révèle identique à l'énoncé précédent auquel s'applique la
solution de Quine, avec cependant une importante différence : l'étudiant
possède désormais la certitude que l'examen doit survenir. Et ceci a pour effet
de rendre impossible que la surprise survienne le dernier jour. Pour cette
raison, on note que S[7, 1] = 0 dans la matrice correspondante. La structure
générale correspondant à ce type de définition est :
|
S[k, 0] |
S[k, 1] |
|
|
S[n,s] |
1 |
0 |
|
S[n-1,s] |
1 |
1 |
|
............ |
............ |
............ |
Et de même, on peut considérer
la structure canonique (d'où la dénomination de structure triangulaire trouve sa justification) suivante, qui est celle de
SEP(I∆) et qui correspond donc à 2-SEP(I∆) :
|
S[k, 0] |
S[k, 1] |
|
|
S[2,s] |
1 |
0 |
|
S[1,s] |
1 |
1 |
Une telle structure correspond
à l'annonce du professeur suivante :
(S12) |
Un examen se déroulera dans
les deux prochains jours, mais la date de l'examen constituera une surprise.
De plus, le fait que l'examen aura lieu constitue une certitude absolue. |
On le voit, l'étudiant ne peut
qu'être justifié ici le dernier jour, de manière appropriée, dans sa croyance
que l'examen surviendra le dernier jour. Car la clause supplémentaire de
l'énoncé selon laquelle il est absolument certain que l'examen se déroulera
interdit à tous les cas de surprise de se manifester le dernier jour. Une telle
version correspond notamment à la variation de SEP décrite par A. J. Ayer. La
version correspondante est la suivante. Le joueur est autorisé à vérifier,
avant que le paquet de cartes mélangé, qu'il contient bien l'as, le 2, le 3,
..., le 7 de Pique. Et il est annoncé que le joueur ne pourra pas prévoir à
l'avance et de manière justifiée, quand l'as de Pique sera découvert. Enfin les
cartes, initialement cachées, sous découvertes une par une. Une telle version a
pour but de rendre impossible, avant que la 7ème carte ne soit découverte, la
croyance selon laquelle l'as de pique ne sera pas découvert. Et ceci a pour
effet d'interdire à la solution de Quine de s'appliquer le dernier jour.
On peut
remarquer ici que la clause additionnelle selon laquelle il est absolument
certain que l'examen se déroulera pourrait être également remplacée, avec un
effet équivalent, pas une formulation du type "Toutefois, si l'examen
survient le dernier jour de la semaine, la prévision de l'étudiant sera
effectuée après l'examen
lui-même". Une telle clause se révèle encore plus rigoureuse que celle
décrite par Ayer et interdit ainsi à la surprise de se manifester le dernier
jour.
Il
convient maintenant de présenter une solution pour les versions de SEP
associées à des structures correspondant à (D11). Une telle solution est basée sur une réduction
récemment exposée par Ned Hall, dont il convient préalablement de rappeler le
contexte. Dans la version de SEP considérée par Quine (1953), il apparaît
clairement que le fait que l'étudiant doute que l'examen aura bien lieu dans la
semaine, à une certaine étape du raisonnement, est autorisé. Quine ainsi se
place délibérément dans une situation où l'étudiant dispose de la faculté de
douter que l'examen aura véritablement lieu dans la semaine. Les versions
décrites par Ayer (1973), Janaway (1989) mais aussi Scriven (1951) traduisent
l'intention d'empêcher cette étape particulière dans le raisonnement de
l'étudiant. De tels scénarios correspondent, dans l'esprit, à SEP(I∆). On
peut également y rattacher la variation du Designated
Student Paradox décrite par Sorensen (1982, 357)[12],
où cinq étoiles - une étoile d'or et quatre étoiles d'argent - sont attribuées
à cinq étudiants, sachant qu'il est indubitable que l'étoile d'or est placée au
dos de l'étudiant qui a été désigné (designated
student).
Cependant,
Ned Hall (1999, 659-660) a récemment exposé une réduction, qui tend à réfuter
les objections classiquement opposées à la solution de Quine. L'argumentation
développée par Hall est la suivante :
We should pause, briefly, to
dispense with a bad - though oft-cited - reason for rejecting Quine's
diagnosis. (See for example Ayer 1973 and Janaway 1989). Begin with the
perfectly sound observation that the story can be told in such a way that the
student is justified in believing
that, come Friday, he will justifiably believe that an exam is scheduled for
the week. Just add a second Iron Law of
the School : that there must be at least one exam each week. (...)
Then the first step of the student's argument goes through just fine. So
Quine's diagnosis is, evidently, inapplicable.
Perhaps - but in letter only, not in
spirit. With the second Iron Law in place, the last disjunct of the professor's
announcement - that E5 & ØJ(E5) - is, from the student's
perspective, a contradiction. So,
from his perspective, the content of
her announcement is given not by SE5 but by SE4 : (E1
& ØJ1(E1)) Ú ... Ú (E4 & ØJ4(E4)). And now Quine's diagnosis applies
straightforwardly : he should simply insist that the student is not
justified in believing the announcement and so, come Thursday morning, not
justified in believing that crucial part of it which asserts that if the exam
is on Friday then it will come as a surprise - which, from the student's
perspective, is tantamount to asserting that the exam is scheduled for one of
Monday through Thursday. That is, Quine should insist that the crucial premise
that J4(E1 Ú E2 Ú E3 Ú E4) is false -
which is exactly the diagnosis he gives to an ordinary 4-day surprise exam
scenario. Oddly, it seems to have gone entirely unnoticed by those who press
this variant of the story against Quine that its only real effect is to convert
an n-day scenario into an n-1 day scenario.
Hall met ainsi en parallèle
deux types de situations. La première correspond à la situation, basée sur la
surprise par erreur, dans laquelle l'analyse de Quine trouve classiquement sa
place. La seconde correspond au type de situation envisagé par les opposants à
la solution de Quine et en particulier Ayer (1973) et Janaway (1989). Dans
cette dernière hypothèse, une version plus forte de SEP est prise en compte où
on considère une seconde Règle d'Or de l'Ecole (Iron Law of the School), où il est admis que l'examen aura
nécessairement lieu pendant la semaine. L'argumentation développée par Hall
conduit à la réduction d'une version
de n-SEP du second type à une version
de (n-1)-SEP de type quinéen. Cette
équivalence a pour effet d'annihiler les objections des opposants à la solution
de Quine[13]. Car
l'effet de cette réduction est de rendre finalement possible l'application de
la solution de Quine dans les situations décrites par Ayer et Janaway. Dans
l'esprit, le scénario envisagé par Ayer et Janaway correspond ainsi à une
situation où la surprise n'est pas possible le jour n (c'est-à-dire S[n, 1] =
0). Ceci a effectivement pour effet de neutraliser la solution de Quine basée
sur n-SEP(I□). Mais la
réduction de Hall trouve alors à s'appliquer. Et son effet est de réduire un
scénario correspondant à (D11) à une situation basée sur (D8). En conséquence, la réduction de Hall permet de
réduire n-SEP(I∆) à (n-1)-SEP(I□). Elle a pour effet que
toute version de SEP(I∆) pour une n-période
se réduit à une version de SEP(I□) pour une (n-1)période (formellement n-SEP(I∆)
º (n-1)-SEP(I□)
pour n > 1). Ainsi, la réduction
de Hall permet d'appliquer finalement la solution de Quine à SEP(I∆) [14].
6. La
notion de surprise correspondant à une structure disjointe
Il convient maintenant de
s'intéresser au cas où la notion de surprise est basée sur une structure disjointe des cas possibles de
non-surprise et de surprise. Soit SEP(II) la version correspondante.
Intuitivement, une telle variation correspond à une situation où pour un jour
donné de la n-période, il n'est pas
possible d'avoir à la fois la non-surprise et la surprise. La structure de la
matrice associée est telle que l'on a chaque jour, de manière exclusive, soit
la non-surprise, soit la surprise.
A ce
stade, il apparaît qu'une question préliminaire peut être posée : la
solution de Quine ne peut-elle pas s'appliquer à SEP(II)? L’analyse précédente
de SEP(I) montre toutefois qu'une condition nécessaire pour que la solution de
Quine trouve à s’appliquer est qu'il existe durant la n-période au moins un jour où la non-surprise et la surprise sont à
la fois possibles. Or une telle propriété est celle d’une structure conjointe et correspond à la situation
qui est celle de SEP(I). Mais dans le présent contexte qui est celui d’une
structure disjointe, la matrice
associée vérifie à l’inverse "k S[k, 0] + S[k, 1] = 1. Par
conséquent, ceci interdit à la solution de Quine de s’appliquer à SEP(II).
De
même, on pourrait se poser la question de savoir si la réduction de Hall ne
peut pas non plus s'appliquer à SEP(II). Ainsi, n'a-t-on donc pas une réduction
de SEP(II) pour une n-période à
SEP(I) pour une (n-1)-période? Il
apparaît également que non. En effet, comme on vient de le voir, la solution de
Quine ne peut pas s'appliquer à SEP(II). Or l'effet de la réduction de Hall est
de réduire un scénario donné à une situation où la solution de Quine trouve
finalement à s'appliquer. Mais, étant donné que la solution de Quine ne peut
s'appliquer dans le contexte de SEP(II), la réduction de Hall se trouve
également dans l’impossibilité de produire son effet.
Etant
donné que la solution de Quine ne s'applique pas à SEP(II), il convient de
s'attacher à fournir une solution adéquate pour la version de SEP correspondant
à notion de surprise associée à une structure disjointe des cas de non-surprise
et de surprise. Pour ce faire, il s'avère nécessaire de décrire une version
plausible de SEP correspondant à une structure disjointe, ainsi que la
structure correspondant à la version canonique de SEP(II).
De
manière préliminaire, on peut observer que la version minimale correspondant à
une version disjointe de SEP est celle qui est associée à la structure
suivante, soit 2-SEP(II) :
(D13) |
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
S[2,s] |
1 |
0 |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
Cependant, pour des raisons qui
deviendront plus claires un peu plus loin, la version correspondante de SEP(II)
ne possède pas un degré de réalisme et de plausibilité suffisant pour
constituer une authentique version de SEP, c'est-à-dire susceptible d'induire
en erreur notre raisonnement.
Afin de
mettre en évidence la version canonique de SEP(II) et l'énoncé correspondant,
il convient tout d'abord de considérer l'observation, effectuée par plusieurs
auteurs[15],
selon laquelle le paradoxe émerge nettement, dans le cas de SEP(II), lorsque n est grand. Une caractéristique
intéressante de SEP(II) est en effet que le paradoxe émerge intuitivement de
manière plus nette lorsque de grandes valeurs de n sont prises en compte. Une illustration frappante de ce phénomène
nous est ainsi fournie par la variation du paradoxe qui correspond à la
situation suivante, décrite par Timothy Williamson (2000, 139) :
Advance knowledge that there will be a test, fire drill, or the like of which one will not know the time in advance is an everyday fact of social life, but one denied by a surprising proportion of early work on the Surprise Examination. Who has not waited for the telephone to ring, knowing that it will do so within a week and that one will not know a second before it rings that it will ring a second later?
La variation suggérée par
Williamson correspond à l'annonce faite à quelqu'un qu'il recevra un coup de
téléphone dans la semaine, sans pouvoir toutefois déterminer à l'avance à
quelle seconde précise celui-ci surviendra. Cette variation souligne comment la
surprise peut se manifester, de manière tout à fait plausible, lorsque la
valeur de n est élevée. L'unité de
temps considérée par Williamson est ici la seconde, rapportée à une période qui
correspond à une semaine. La valeur correspondante de n est ici très élevée et égale à 604800 (60 x 60 x 24 x 7)
secondes. Ceci illustre comment une grande valeur de n permet à la variation correspondante de SEP(II) de prendre place
d'une façon à la fois plausible et réaliste. Cependant, il n'est pas
véritablement indispensable de prendre en compte une valeur aussi grande de n. En effet, une valeur de n égale à 365 convient également très
bien. Dans ce contexte, l'annonce du professeur qui correspond à une structure
disjointe est alors la suivante :
(S14) |
Un examen aura lieu dans
l'année à venir mais la date de l'examen constituera une surprise. |
La définition correspondante
présente alors la structure ci-dessous :
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
|
S[365,s] |
1 |
0 |
|
............ |
............ |
............ |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
qui constitue une instance de
la forme générale suivante :
(D15) |
|
S[1, 0] |
S[1, 1] |
|
S[n,s] |
1 |
0 |
|
............ |
............ |
............ |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
Cette dernière structure peut
être considérée comme correspondant à la version canonique de SEP(II), pour n
grand. Dans la situation particulière associée à cette version de SEP, il
apparaît qu'au moins un cas de surprise (par exemple si l'examen survient le
premier jour) permet de valider, de manière tout à fait réaliste, l'annonce du
professeur.
La
forme de SEP(II) qui s'applique à la version standard de SEP est 7-SEP(II), qui
correspond à l'énoncé classique:
(S7) |
Un examen se déroulera la semaine prochaine mais la
date de l'examen constituera une surprise. |
mais avec cette différence avec
la version standard que le contexte est exclusivement ici celui d'une notion de
surprise associée à une structure disjointe.
On peut
remarquer ici que le cas de surprise qui correspond à SEP(II) est, de même que
pour SEP(I), celui où l'étudiant prédit chaque jour - de manière fausse mais
justifiée par un raisonnement basé sur l'induction-arrière - que l'examen
n'aura lieu aucun jour de la semaine. Il s'agit ainsi du cas de surprise
(e) où la prévision correspondante est fausse et justifiée de manière
inadéquate. En outre, dans le cas de SEP(II), l'étudiant peut également ne pas
remettre en cause le fait que l'examen puisse avoir lieu, et rejeter seulement
le fait que l'examen puisse avoir lieu par
surprise. Chaque jour, il prévoit alors que l'examen aura lieu, mais en
considérant que ce dernier n'aura pas lieu par surprise. L'étudiant est alors
amené à conclure que l'examen ne peut avoir lieu par surprise aucun jour de la n-période. Par conséquent, la prédiction
correspondante se révélera vraie. Cependant, cela n'empêche pas finalement
l'examen de survenir par surprise, puisque la prédiction de l'étudiant, fondée
sur un raisonnement basé sur l'induction-arrière, sera finalement justifiée de
manière inadéquate. Ainsi, le cas de surprise concerné est ici le cas (c), qui
correspond à une prédiction vraie et justifiée de manière inadéquate[16].
A ce
stade, on est désormais à même de déterminer l'étape fallacieuse dans le
raisonnement de l'étudiant. Pour cela, il est utile de décrire le raisonnement
de l'étudiant en termes de reconstitution de matrice. Le raisonnement de
l'étudiant le conduit en effet à attribuer une valeur pour S[k, 0] et S[k, 1]. Et lorsqu'il a connaissance de l'annonce du professeur, le
raisonnement de l'étudiant le conduit en effet à reconstruire la matrice
correspondante telle que tous les S[k,
0] = 1 et S[k, 1] = 0, de la manière
suivante (pour n = 7) :
(D16) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
1 |
0 |
|
S[5,s] |
1 |
0 |
|
S[4,s] |
1 |
0 |
|
S[3,s] |
1 |
0 |
|
S[2,s] |
1 |
0 |
|
S[1,s] |
1 |
0 |
On peut noter ici que l'ordre
de reconstitution se révèle indifférent. A ce stade, on est en mesure
d'identifier l'erreur de raisonnement qui est à l'origine de la conclusion
erronée de l'étudiant. Il apparaît en effet que l'étudiant n'a pas tenu compte
du fait que la surprise correspond ici à une structure disjointe. En effet, il
aurait dû considérer ici que le dernier jour correspond à une instance propre
de non-surprise et donc que S[n, 0] =
1. De même, il aurait dû considérer que le 1er jour (par exemple) correspond à
une instance propre de surprise et donc S[1, 1] = 1. Le contexte étant celui d'une
structure disjointe, il aurait pu légitimement ajouter que S[n, 1] = 0 et S[1, 0] = 0. A ce stade, la
matrice partiellement reconstituée aurait alors été la suivante :
(D17) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
|
|
|
S[5,s] |
|
|
|
S[4,s] |
|
|
|
S[3,s] |
|
|
|
S[2,s] |
|
|
|
S[1,s] |
0 |
1 |
L'étudiant aurait alors dû
poursuivre son raisonnement de la manière suivante. Les instances propres de
non-surprise et de surprise qui sont ici disjointes ne capturent pas en
totalité la notion de surprise. Dans un tel contexte, la notion de surprise
n'est pas capturée de manière exhaustive par l'extension et l'anti-extension de
la surprise. Or une telle définition est conforme à la définition classique
d'un prédicat vague, caractérisé par une extension et une anti-extension
mutuellement exclusives et non-exhaustives[17].
Ainsi, la conception de la surprise associée une structure disjointe est celle
d'une notion vague.
Ce qui
précède permet maintenant d'identifier avec précision ce qui pêche dans le
raisonnement de l'étudiant, lorsque la notion de surprise est une notion vague
associée à une structure disjointe. Car l'erreur à l'origine du raisonnement
fallacieux de l'étudiant réside dans l'absence de prise en compte du fait que
la surprise correspond dans le cas d'une structure disjointe, à une notion
vague, et comporte donc la présence d'une zone de pénombre correspondant à des
cas-limites (borderline) entre la
non-surprise et la surprise. Point n'est besoin ici de disposer d'une solution
pour le paradoxe sorite. En effet, que ces cas-limites résultent d'une
succession de degrés intermédiaires, d'une coupure précise entre la
non-surprise et la surprise dont l'emplacement exact nous est impossible à
connaître, etc. importe peu ici. Car dans tous les cas, l'existence des
cas-limites interdit de conclure que S[k,
0] = 1, pour k ¹ 7 et k ¹ 1.
Plusieurs
façons existent ainsi pour reconstituer la matrice en accord avec ce qui
précède. L'une de ces façons (basée sur conception du vague fondée sur la
logique floue) consiste à considérer qu'il existe une succession continue et
graduelle de la non-surprise à la surprise. L'algorithme correspondant pour
reconstituer la matrice est alors celui où le pas est donné par la formule 1/(n-p) où p correspond à une instance propre de surprise. Pour p = 3, on a ici 1/(7-3) = 0,25, avec
S[3, 1] = 1. Et la matrice correspondante est ainsi la suivante :
(D18) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
0,75 |
0,25 |
|
S[5,s] |
0,5 |
0,5 |
|
S[4,s] |
0,25 |
0,75 |
|
S[3,s] |
0 |
1 |
|
S[2,s] |
0 |
1 |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
où la somme des valeurs de la
matrice associées à un jour donné est égale à 1. L'intuition qui préside à
SEP(II) est ici que la non-surprise est totale le jour n, mais qu'il existe des degrés intermédiaires de surprise si (0 < si < 1), tels que plus on
s'approche du dernier jour, plus l'effet de non-surprise est élevé. A
l'inverse, l'effet de surprise est total dans les premiers jours, par exemple
les jours 1, 2 et 3.
De
manière alternative, on pourrait utiliser ici la notation équivalente suivante :
(D19) |
|
S[k,
0] |
S[k,
0,25] |
S[k,
0,5] |
S[k,
0,75] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
S[6,s] |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
S[5,s] |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
S[4,s] |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
S[3,s] |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
S[2,s] |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
S[1,s] |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
avec une matrice associée qui
comporte m colonnes, permettant ainsi
un passage progressif de la non-surprise à la surprise, avec m-2 valeurs intermédiaires.
On peut
remarquer ici que les définitions correspondant à SEP(II) qui viennent d'être
décrites, sont telles qu'elles présentent une propriété de linéarité (formellement, "k, i (1 < k £ n, 1 £ i < m, pour une matrice comportant m colonnes) si S[k, si] = 1
alors S[k-1, si] = 1 ou[18]
S[k-1, si+1] = 1). Il apparaît en effet qu'une structure
correspondant aux cas possibles de non-surprise et de surprise qui ne
présenterait pas une telle propriété de linéarité, ne capturerait pas
l'intuition correspondant à la notion de surprise. Pour cette raison, il paraît
suffisant de limiter la présente étude aux structures de définitions
satisfaisant cette propriété de linéarité.
On peut
observer ici qu'une façon alternative de reconstituer la matrice correspondante
aurait pu être utilisée. Il s'agit du cas où la nature vague de la surprise est
déterminée par l'existence d'une
coupure précise entre les cas de non-surprise et de surprise, dont il ne nous
est cependant pas possible de connaître l'emplacement exact. Dans ce cas, la
matrice aurait pu être reconstituée par exemple de la manière suivante :
(D20) |
|
S[k,
0] |
S[k,
1] |
|
S[7,s] |
1 |
0 |
|
S[6,s] |
1 |
0 |
|
S[5,s] |
1 |
0 |
|
S[4,s] |
0 |
1 |
|
S[3,s] |
0 |
1 |
|
S[2,s] |
0 |
1 |
|
S[1,s] |
0 |
1 |
A ce
stade, on peut se demander si la version du paradoxe associée à SEP(II) ne peut
pas être assimilée au paradoxe sorite.
La réduction de SEP au paradoxe sorite est en effet la solution qui a été
proposée par certains auteurs, notamment Dietl (1973) et Smith (1984).
Toutefois, ces dernières solutions, basées sur l'assimilation de SEP au
paradoxe sorite, constituent des analyses monistes, qui ne conduisent pas, à la
différence de la présente solution, à deux solutions indépendantes basées sur
deux versions structurellement différentes de SEP. En ce qui concerne par
ailleurs les analyses proposées par Dietl et Smith, il n'apparaît pas
clairement si chaque étape de SEP est pleinement assimilée à l'étape
correspondante du paradoxe sorite, ainsi que l'a souligné Sorensen[19].
Mais dans le contexte d'une conception de la surprise correspondant à une
structure disjointe, le fait que le dernier jour correspond à une instance
propre de non-surprise peut être ici assimilé à l'étape de base du paradoxe
sorite.
Cependant,
il apparaît qu'une telle réduction de SEP au paradoxe sorite, limitée à la
notion de surprise correspondant à une structure disjointe, ne prévaut pas. En
premier lieu, il n'apparaît pas clairement si l'énoncé de SEP peut être traduit
en une variation du paradoxe sorite, en particulier pour ce qui concerne 7‑SEP(II).
Car la variation correspondante du paradoxe sorite serait trop rapide, ainsi
que l'a déjà été noté Sorensen (1988)[20].
Et on peut penser en outre, ainsi que l'a fait remarquer Scott Soames (1999),
que certains prédicats vagues ne sont pas susceptibles de donner lieu à une
version correspondante du paradoxe sorite. Tel apparaît bien être le cas pour
la notion de surprise associée à 7-SEP(II). Car comme l'a fait remarquer Soames[21],
le continuum qui est sémantiquement associé aux prédicats donnant lieu au
paradoxe sorite, peut être fragmenté en unités si petites que si l'une de ces
unités est intuitivement F, alors l'unité suivante est également F. Or tel n'est
pas le cas pour la variation constituée par 7-SEP(II), car les unités
correspondantes (1 jour) ne sont pas assez fines par rapport à la période
considérée (7 jours).
Enfin
surtout, on l'a vu plus haut, la solution précédente pour SEP(II) s'applique, quelle que soit la nature de la solution
adoptée pour le paradoxe sorite. Car c'est la méconnaissance de la
structure sémantique de la notion vague de surprise qui se trouve à l'origine
du raisonnement fallacieux de l'étudiant dans le cas de SEP(II). Et ce fait est
indépendant de la solution qui devrait être apportée, dans le futur, pour le
paradoxe sorite, que cette approche soit d'inspiration épistémologique,
supervaluationniste, basée sur la logique floue, ..., ou d'une toute autre
nature.
Je mentionnerai finalement que
la solution qui vient d'être proposée s'applique, ce me semble, aux variations
de SEP mentionnées par Sorensen (1982). En effet, la structure des formes
canoniques de SEP(I□), SEP(I∆) ou SEP(II) indique que quelle que
soit la version prise en compte, la solution qui s'applique ne nécessite pas de
faire appel à un quelconque principe de rétention temporelle. Elle est
également indépendante de l'ordre d'élimination et peut enfin s'appliquer
lorsque la durée de la n-période
n'est pas connue lors de l'annonce faite par le professeur.
Enfin,
on peut mentionner que la stratégie développée dans la présente étude se révèle
structurellement analogue à celle mise en œuvre dans mon analyse du paradoxe de Hempel (1999) : en
premier lieu, établir une dichotomie qui permet de diviser le problème concerné
en deux classes distinctes ; en second lieu, montrer que chacune des
versions qui en résultent admet une résolution spécifique[22].
De manière similaire, dans la présente analyse de SEP, une dichotomie est
effectuée et les deux catégories de problèmes qui en résultent donnent ensuite
lieu à une solution indépendante. Ceci suggère que le fait que deux versions
structurellement indépendantes se trouvent inextricablement mêlées dans les
paradoxes philosophiques pourrait être une caractéristique plus répandue qu'on
pourrait le penser de prime abord et pourrait également expliquer en partie la
difficulté qui leur est propre[23].
REFERENCES
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"On a Supposed Antinomy", Mind
82, pp. 125-126. |
BINKLEY, R. 1968,
"The Surprise Examination in Modal Logic", Journal of Philosophy 65, pp. 127-136. |
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pp. 41-51. |
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"The Surprise Examination", Educational
Theory 23, pp. 153-158. |
FRANCESCHI, P. 1999, "Comment
l'urne de Carter et Leslie se déverse dans celle de Hempel", Canadian Journal of Philosophy 29, pp.
139-156. |
HALL, N. 1999,
"How to Set a Surprise Exam", Mind
108, pp. 647-703. |
HYDE, D. 2002 "Sorites Paradox", The
Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2002 Edition), E. N.
Zalta (ed.), http ://plato.stanford.edu/archives/fall2002/entries/sorites-paradox. |
JANAWAY, C. 1989,
"Knowing About Surprises : A Supposed Antinomy Revisited", Mind 98, pp. 391-410. |
MONTAGUE, R. &
KAPLAN, D. 1960, "A Paradox Regained", Notre Dame Journal of Formal Logic 3, pp. 79-90. |
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"Pragmatic paradoxes", Mind
57, pp. 358-359. |
QUINE, W. 1953,
"On a So-called Paradox", Mind
62, pp. 65-66. |
SAINSBURY, R. M.
1995, Paradoxes, 2ème édition,
Cambridge : Cambridge University Press. |
SCRIVEN, M. 1951,
"Paradoxical announcements", Mind
60, pp. 403-407. |
SHAW, R. 1958,
"The Paradox of the Unexpected Examination", Mind 67, pp. 382-384. |
SMITH, J. W.
1984, "The surprise examination
on the paradox of the heap", Philosophical
Papers 13, pp. 43-56. |
SOAMES, S. 1999, Understanding Truth, New York,
Oxford : Oxford University Press. |
SORENSEN, R. A.
1982, "Recalcitrant versions of the prediction paradox", Australasian Journal of Philosophy 69,
pp. 355-362. |
SORENSEN, R. A.
1988, Blindspots, Oxford :
Clarendon Press. |
WILLIAMSON, T. 2000,
Knowledge and its Limits, London
& New York : Routledge. |
WRIGHT, C. &
SUDBURY, A. 1977, "The Paradox of the Unexpected Examination", Australasian Journal of Philosophy 55,
pp. 41-58. |
[1] Je simplifie ici considérablement.
[2] Sans prétendre à l'exhaustivité.
[3] Dans ce qui suit, n désigne le
dernier jour de la période correspondant à l'annonce du professeur.
[4] L'objet de la présente section n'est pas l'étude
de la notion de surprise per se. Elle
a davantage pour but en effet d'éliminer certaines connotations psychologiques
au niveau de la notion de surprise, afin de mettre en évidence plus nettement
la structure du paradoxe.
[5] Je remercie un expert anonyme d'avoir souligné la
nécessité de prendre en compte également le cas de surprise correspondant à une
prévision fausse et justifiée.
[6] En prenant en compte le fait que seules les
instances positives (c'est-à-dire une prédiction associée à un jour où l'examen
survient véritablement) sont prises en compte, et que les instances négatives
(c'est-à-dire une prédiction associée à un jour où l'examen ne survient pas)
sont purement et simplement ignorées. Ce point particulier est présenté de
manière plus détaillée à la fin de la présente section.
[7] Soit 1-SEP, 2-SEP,..., n-SEP le problème pour respectivement 1 jour, 2 jours,..., n jours.
[8] Les cas où ni la non-surprise ni la surprise ne
sont possibles un même jour (c'est-à-dire tels que S[k, 0] + S[k, 1] = 0)
peuvent être purement et simplement ignorés.
[9] Cf. (1953, 65) : 'It is
notable that K acquiesces in the
conclusion (wrong, according to the fable of the Thursday hanging) that the
decree will not be fulfilled. If this is a conclusion which he is prepared to
accept (though wrongly) in the end as a certainty, it is an alternative which
he should have been prepared to take into consideration from the beginning as a
possibility.'
[10] Cf. (1953, 66) : 'If K had reasoned correctly, Sunday
afternoon, he would have reasoned as follows : "We must distinguish
four cases : first, that I shall be hanged tomorrow noon and I know it now
(but I do not) ; second, that I shall be unhanged tomorrow noon and do not
know it now (but I do not) ; third, that I shall be unhanged tomorrow noon
and know it now ; and fourth, that I shall be hanged tomorrow noon and do
not know it now. The latter two alternatives are the open possibilities, and
the last of all would fulfill the decree. Rather than charging the judge with
self-contradiction, let me suspend judgment and hope for the best."'
[11] A ce stade, on pourrait montrer ici que le
principe de la solution de Quine s'applique également à des versions de
SEP(I□) basées sur les trois autres cas de surprise (b), (c) et (d)
définis plus haut (cf. s. 3). Toutefois, ces trois derniers cas de surprise
présentent un intérêt qui apparaît essentiellement théorique, et qui ne
correspond pas véritablement à des situations concrètes. A l'inverse, la
solution de Quine s'applique directement à une situation qui apparaît tout à
fait plausible. Pour appréhender le cas (b) de surprise pour 1-SEP,
correspondant à une prévision vraie et non justifiée, il suffirait par exemple
de considérer que l'étudiant effectue le jour 1 une prédiction qui n'est pas
justifiée. On aurait alors l'émergence d'une variation de la solution de Quine
appliquée à 1-SEP(I□) et au cas (b) de surprise, etc.
[12] 'The students are then shown four
silver stars and one gold star. One star is put on the back of each student.'.
[13] Hall réfute par ailleurs, mais sur un fondement
différent, la solution proposée par Quine.
[14] La réduction de Hall peut aisément être
généralisée. Elle est alors associée à une version de n-SEP(I∆) telle que la surprise ne pourra survenir les m derniers jours de la semaine. Une
telle version est associée à une matrice telle que (a) $m (1 £ m < n) tel que S[n-m, 0] = S[n-m,
1] = 1 ; (b) "p > n-m S[p, 0] = 1 et S[p, 1] = 0 ; (c) "q
< n-m S[q, 0] = S[q, 1] = 1. Dans cette nouvelle
situation, une réduction de Hall
généralisée s'applique à la version de SEP correspondante. Dans ce cas, la
réduction de Hall étendue conduit à : n-SEP(I∆)
º (n-m)-SEP(I□).
[15] Cf. notamment Hall (1999, 661),
Williamson (2000).
[16] On pourrait montrer également que la solution qui
prévaut pour SEP(II) s'applique également à des versions de SEP(II) basées sur
les deux autres cas de surprise (b) et (d) définis plus haut (cf. s. 3.). En
effet, ces derniers cas de surprise peuvent être également appréhendés dans le
cadre de la présente solution pour SEP(II) et d'énoncés correspondants. Ces
deux derniers cas de surprise présentent toutefois un intérêt limité, car ils
conduisent à des variations dont la nature est essentiellement théorique.
[17] Cette définition d'un prédicat vague est
empruntée à Soames. Considérant l'extension et l'anti-extension d'un prédicat
vague, Soames (1999, 210) précise ainsi : "These two classes are
mutually exclusive, though not jointly exhaustive".
[18] Il s'agit d'un ou exclusif.
[19] Cf. Sorensen (1988, 292-293) :
'Indeed, no one has simply asserted that the following is just another instance
of the sorites.
i. Base
step : The audience can know that the exercise will not occur on the last
day.
ii. Induction
step : If the audience can know that the exercise will not occur on day n, then they can also know that the
exercise will not occur on day n – 1
iii. The
audience can know that there is no day on which the exercise will occur.
Why not blame the whole puzzle on
the vagueness of ‘can know’? (…) Despite its attractiveness, I have not found
any clear examples of this strategy.'
[20] Cf. (1988, 324): 'One immediate qualm about assimilating the prediction paradox to the sorites is that the prediction paradox would be a very 'fast' sorites. (...) Yet standard sorites arguments involve a great many borderline cases.'
[21] Cf. Soames (1999, 218): 'A further
fact about Sorites predicates is that the continuum semantically associated
with such a predicate can be broken down into units fine enough so that once
one has characterized one item as F (or not F), it is virtually irresistible to
characterize the same item in the same way'.
[22] Un exemple caractéristique de ce type d'analyse est également fourni par la solution pour le paradoxe des deux enveloppes (two-envelope paradox) décrite par David Chalmers (2002, 157) : 'The upshot is a disjunctive diagnosis of the two-envelope paradox. The expected value of the amount in the envelopes is either finite or infinite. If it is finite, then (1) and (2) are false (...). If it is infinite, then the step from (2) to (3) is invalid (...)'.
[23] Je suis reconnaissant envers Timothy Chow, Ned
Hall, Claude Panaccio et plusieurs experts anonymes pour des commentaires très
utiles concernant de précédentes versions de cet article.