La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier - HAL Accéder directement au contenu
Pré-publication, Document de travail Année : 2015

The secret harmony of the random disorder, revealed in the paper sheet

La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier

Jacques Jean Silvy

Résumé

This study is about the properties of the sets of objects associated in a structure resulting from multiple-processes involving chance as are materials whose texture is unordered and random. Being a paper scientist the author refers to the sheet of paper which is a stochastic fibrous set whose porous texture can be considered as an archetype for many natural or artificial human structures. The paper properties are correlated with its texture by taking account the effect of chance occurring during its manufacturing process. The theoretical developments, the formalism and the application methods presented in this study have a general significance beyond the only paper material. A specific property of sets of objects randomly unorderly distributed in space is their interfaces orientation distribution. This distribution is usually obtained by the analysis of images sampled in the object sets. The density of orientation probability of the fibers or of the texture interfaces, weighted by their length or by their area, can be interpreted as the radius of curvature of an outline or of a warped surface which characterizes, from a global and statistical point of view, the texture geometry in two or three dimensions. This figure named by the author the “equivalent pore”, is with its elliptical shape similar to the one of the mean pore defined by the mean directional chord between the interfaces in the texture. Different methods of “equivalent pore” establishing are analyzed : by conformal map of the fiber network or of the texture interfaces , by images stereometric analysis of texture tomographical cuts, by scattering and diffraction of a laser light beam impacting the fibrous texture or the material surface replica, by hard X-ray absorption and phase contrast at the European Synchrotron Radiation Facilities( ESRF), in Grenoble. The “equivalent pore” concept allows us to study random unordered sets behavior in strength fields while simplifying this analysis. Thus a phenomenon occurring in a plane set, in two dimensions, can be analyzed on its “equivalent pore” linear outline, and a phenomenon which occurs in volume in a three dimensional set can be analyzed on its “equivalent pore” warped surface. This concept has been applied for physical, mechanical, optical and ionic conduction properties of materials like papers, boards, felts, nonwoven textiles, polymer foams, metallic alloys with grain joints, geological grounds, and for the surface mapping of natural relief and of materials with different gloss, worn or roughness levels. The ellipse and the ellipsoïd, as well as multi-modes compositions of it, are the most appropriate figures to represent the “equivalent pore” of materials with a random unordered texture. The fact that a law, which defines the curvature of an elliptic deterministic geometrical configuration, is essential to represent interface orientation allocation of elements whose spatial distribution is probabilistic is a noteworthy fact that makes us wonder. This assertion is corroborated by fluid flow analysis through porous media. The global dissipated energy for fluid flow is distributed along the motion (translation and rotation) and fluid deformation components on the “equivalent pore” whose surface is conformal to the texture interfaces tangential space. The porous media being homogenous and the fluid particles indistinguishable each ones from the others, due to permanent stochastic exchanges from one fluid volume element into another, we conclude that their motion quantification is invariant on each point of the “equivalent pore” surface. This quantification can be represented by a group of elliptical cylinders. The “equivalent pore” and cylinders group surface intersections define the fluid particle probabilistic paths in the porous media. One singular geometrical configuration of the elliptic cylinders group union with the ellipsoidal “equivalent pore” fulfills the minimal energy dissipation requirements in the stress field applied to the fluid. The resulting paths are ellipsoïdo-cylindrical curves carpeting the ellipsoïd by a beam of isoperimétric lacets, in close or open loops depending on the possible pairing off the curves in their nodals and isoclinal tangency points. The flow laminarity and unrotationality are globally established in the porous media at the macroscopic scale, for Reynold’s number small values, in agreement with the results found moreover. The so defined ellipsoïdo-cylindrical curve is a stationary curve at the average least action meaning, for a punctual mobile or a deformable volume element moving on the surface of the ellipsoid from a nodal spot to the other in an antipodal position. This curve establishes a gauge which characterizes, from a global point of view, the physical space embraced by the fluid during its flow, in dynamical balance conditions compatible with the stress field. The ellipsoïdo-cylindrical curve allows to carpet the ellipsoïd as a function of one cyclic angular variable, which is a new construction for the ellipsoïd. When the set of the objects is isotropic the curve is sphero-cylindrical whose plan mapping permit to decipher the tai-chi figure of the Taoïst Buddhism philosophy. This study of random unordered object sets, and more specially of fibrous porous media, allows to establish a structural link between their small scale texture stochastic disorder and the harmonious order that emerges from these sets at a larger scale. The largest chance possible, compatible with the stress field which put a strain on these sets, is the necessary and sufficient variable which allows to best globally adjust their behaviors according to the probabilistic and deterministic laws governing their evolution. The vocabulary used in this study is issued from the common language, most of the time adapted to the material class; it is transposable in other fields of interest. The text is completed by notes and a bibliography which refer to the works done following the presented concepts or in relation to this field of studies.
Cette étude concerne les propriétés des ensembles d’objets associés dans une structure qui résulte de processus multiples où intervient le hasard, comme c’est le cas dans les matériaux dont la texture est non ordonnée, aléatoire. L’auteur fait référence à la feuille de papier, un ensemble fibreux qui peut être considérée comme un archétype pour de nombreuses structures existantes dans la nature ou élaborées par l’homme. Les propriétés d’usage du papier sont mises en corrélation d’avec sa texture en montrant l’incidence des effets du hasard qui intervient au cours de son procédé de fabrication. Les développements théoriques, le formalisme et les méthodes d’application présentés dans cette étude ont une portée générale au delà du seul domaine du matériau papier. Une propriété discriminante des ensembles d’objets distribués dans l’espace de manière désordonnée aléatoire est la répartition en orientation de leurs interfaces. Cette répartition s’obtient généralement par l’analyse d’images échantillonnées dans les ensembles. Dans une texture poreuse fibreuse la densité de la probabilité en orientation des fibres ou de l’orientation des interfaces de la texture, pondérée par leur longueur ou leur aire peut s’interpréter en tant que rayon de courbure d’un contour ou d’une surface qui caractérise, d’un point de vue statistique et global, la géométrie de la texture en deux ou en trois dimensions. Cette figure dénommée par l’auteur : le pore équivalent, a dans de nombreux cas une forme elliptique ou ellipsoïdale et est semblable au pore moyen défini par la corde moyenne évaluée dans les différentes directions entre les interfaces de la texture. Différentes méthodes de construction du pore équivalent sont analysées : par transformation conforme du réseau des fibres ou des interfaces de la texture, par l’analyse stéréométrique des images et de coupes tomographiques, par des micro tomographies avec des rayons X de haute énergie à l’E.S.R.F. de Grenoble, par diffraction et par diffusion de la lumière d’un faisceau laser impactant la texture fibreuse ou la réplique de ses surfaces. Le concept du pore équivalent permet d’étudier le comportement des ensembles désordonnés aléatoires dans des champs de forces, en simplifiant l’analyse. Ainsi un phénomène qui se produit dans un ensemble plan peut s’analyser sur le contour linéaire de son pore équivalent et un phénomène qui se produit en volume dans un ensemble en trois dimensions peut s’analyser sur la surface gauche bidimensionnelle de son pore équivalent. Ce concept a été appliqué pour l’étude des propriétés physiques, mécaniques, optiques et de conduction ionique de matériaux tels que les papiers et les cartons, les feutres, les voiles textiles non-tissés, les mousses de polymères, les alliages métalliques avec des joints de grains, les structures géologiques, la rugosité des matériaux, leur degré de brillant , leur abrasion et le relief des ensembles naturels. L’ellipse et l’ellipsoïde ainsi que leurs compositions multimodales sont les figures les mieux adaptées pour représenter le pore équivalent des matériaux à texture désordonnée aléatoire. Qu’une loi qui définit la courbure d’une configuration géométrique déterministe, elliptique, s’impose pour représenter la répartition en orientation des interfaces d’éléments dont la distribution dans l’espace est statistiquement probabiliste, est un fait remarquable qui nous interroge. Cette assertion est corroborée par l’analyse de l’écoulement des fluides dans un milieu poreux. L’énergie dissipée dans l’écoulement est répartie en fonction des composantes de déplacement, en translation et en rotation ainsi que de déformation du fluide, sur le pore équivalent dont la surface est conforme à celle de l’espace tangentielle des interfaces de la texture. Le milieu poreux étant homogène et les particules du fluide indiscernables les unes par rapport aux autres, compte tenu des échanges stochastiques continuels d’un élément de volume dans un autre, on conclut que la quantification de leurs mouvements est invariante d’un point de vue statistique en chaque point de la surface du pore équivalent. De manière générale un groupe de cylindres elliptiques permet de représenter cette quantification. Les intersections de la surface du groupe de cylindres d’avec la surface du pore équivalent définissent ainsi les trajectoires probabilistes des particules du fluide, de manière virtuelle et holiste dans le milieu poreux. Une configuration géométrique particulière du groupe de cylindres elliptiques et du pore équivalent ellipsoïdal, satisfait les conditions de dissipation d’énergie minimale pour l’écoulement du fluide et d’entropie maximale dans les conditions des sollicitations. Ces trajectoires tapissent l’ellipsoïde par un faisceau de lacets homotopes ellipsoïdo-cylindriques, en boucles ouvertes ou fermées, suivant les appariements possibles en leurs points nodaux de regroupement et/ou de tangence isocline. La laminarité et l’irrotationnalité de l’écoulement sont établies à l’échelle macroscopique de manière globale et aux faibles valeurs du nombre de Reynolds ce qui est en accord avec les résultats obtenus par d’autres méthodes d’analyse. La courbe ellipsoïdo-cylindrique ainsi définie est stationnaire quand à la moindre action dans le déplacement d’un élément de volume du fluide sur la surface de l’ellipsoïde pour aller d’un point ombilic à l’autre en position antipodale. Cette courbe permet de réaliser une tapisserie de l’ellipsoïde, de manière unicursale, en fonction d’une variable angulaire cyclique, ce qui permet de construire de manière générale un ellipsoïde tri axes. Tel un stick déformable la courbe ellipsoïdo- cylindrique caractérise dans sa globalité l’espace embrassé par le fluide en écoulement dans le milieu poreux, dans des conditions d’équilibre dynamique du fluide. Lorsque l’ensemble d’éléments désordonné aléatoire, est isotrope la courbe est une hippopède qui fait partie de la variété des courbes sphéro-cylindriques. Le développement dans l’espace de cette courbe, projeté dans un plan permet de décrypter le tai-chi, figure symbolique dans la philosophie bouddhique Taoïste de l’équipartition de l’énergie vitale suivant les principes du Yin et du Yang. Cette étude des ensembles désordonnés aléatoires et plus particulièrement des milieux poreux fibreux, établit un lien structurel entre le désordre stochastique de leurs éléments à petite échelle et l’ordre qui émerge de ces ensembles à une plus grande échelle dans les conditions d’équilibre dynamique vis-à-vis de leurs sollicitations. Le hasard le plus grand qui soit est la variable nécessaire et suffisante qui permet d’optimiser dans sa globalité leur comportement suivant les lois, déterministes et probabilistes, qui conditionnent leur évolution. Le vocabulaire de cette étude est celui du langage commun le plus souvent adapté à la classe des matériaux ; il est transposable dans d’autres domaines d’intérêt. Des notes annexes ainsi qu’une bibliographie sur des travaux effectués suivant les concepts présentés ou proches du domaine de l’étude complètent le texte.
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hal-01196356, version 1 (09-09-2015)
hal-01196356, version 2 (20-09-2015)
hal-01196356, version 3 (20-12-2015)

Identifiants

  • HAL Id : hal-01196356 , version 3

Citer

Jacques Jean Silvy. La secrète harmonie du désordre aléatoire dévoilée dans la feuille de papier : Essai sur une forme d’espace moteur en milieu stochastique. 2015. ⟨hal-01196356v3⟩

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Dernière date de mise à jour le 05/05/2024
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