A comparison of the GAI model and the Choquet integral with respect to a k-ary capacity
Résumé
Two utility models are classically used to represent interaction among criteria: the Choquet integral and the Generalized Additive Independence (GAI) model. We propose a comparison of these models. Looking at their mathematical expression, it seems that the second one is much more general than the first one. The GAI model has been mostly studied in the case where attributes are discrete. We propose an extension of the GAI model to continuous attributes, using the multi-linear interpolation. The values that are interpolated can in fact be interpreted as a k-ary capacity, or its extension – called p-ary capacity – where p is a vector and pi is the number of levels attached to criterion i. In order to push the comparison further, the Choquet integral with respect to a p-ary capacity is generalized to preferences that are not necessarily monotonically increasing or decreasing on the attributes. Then the Choquet integral with respect to a p-ary capacity differs from a GAI model only by the type of interpolation model. The Choquet integral is the Lovász extension of a p-ary capacity whereas the GAI model is the multi-linear extension of a p-ary capacity.
Deux modèles d'utilité sont classiquement utilisés pour représenter l'interaction entre les critères : l'intégrale de Choquet et le modèle de l'indépendance additive généralisée (GAI). Nous proposons une comparaison de ces deux modèles. D'après leur expression mathématique, il semble que le second soit plus général que le premier. Le modèle GAI a été étudié le plus souvent avec des attributs discrets. Nous proposons une extension du modèle GAI pour les attributs continus, par interpolation multi-linéaire. Les valeurs interpolées peuvent être interprétées comme une capacité k-additive ou p-additive, où p est un vecteur et pi le nombre de niveaux attachés au critère i. Pour pousser la comparaison plus loin, l'intégrale de Choquet par rapport à une p-capacité est généralisée aux préférences qui ne sont pas nécessairement monotones croissantes ou décroissantes. Alors l'intégrale de Choquet pour une p-capacité diffère d'un modèle GAI seulement par le type d'interpolation. L'intégrale de Choquet est l'extension de Lovász d'une p-capacité tandis que le modèle GAI est l'extension multi-linéaire d'une p-capacité.
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|
Loading...