What is new and what is old in Viète's analysis restituta and algebra nova, and where do they come from?
Some reflections on the relations between algebra and analysis before Viète
Résumé
François Viète considered most of his mathematical treatises to be part of a body of texts he entitled "Opus restitutae Mathematicae Analyseos Seu Algebrâ novâ".
Despite this title and the fact that the term "algebra'' has often been
used to designate what is customarily regarded as Viète's main
contribution to mathematics, such a term is not part of his vocabulary. How should we understand this term, in the context of the title of his Opus, where "new algebra'' is identified with "restored analysis''? To
answer this question, I suggest distinguishing between two kinds of
problematic analysis: the former is that described by Pappus at the
beginning of the 7th book of his Mathematical Collection, which I
will call "intra-configurational''; the latter is the one Viète
applied, which I will call "trans-configurational''. In order to apply the
latter kind of analysis, Viète relies on his new formalism. I argue,
however, that the use of this formalism is not a necessary condition for
applying it. I also argue that the same kind of analysis was largely applied
before Viète for solving geometrical problems, by relying on geometrical
inferences of a special sort which I call "non-positional'', since they do
not depend on a diagram. As an example of a similar systematic application of trans-configurational analysis, I consider al-Khayyam's Treatise of Algebra and Al-muqabala. Finally, I suggest that
Viète, when speaking of algebra in the title of his Opus, refers to the system of techniques underlying trans-configurational analysis, that is, to the art of transforming the conditions of certain purely quantitative problems, using either an appropriate formalism relative to the operations of addition, subtraction, multiplication, division, root extraction and solving polynomial equations applied to indeterminate numbers, or appropriate geometrical, non-positional inferences.
Despite this title and the fact that the term "algebra'' has often been
used to designate what is customarily regarded as Viète's main
contribution to mathematics, such a term is not part of his vocabulary. How should we understand this term, in the context of the title of his Opus, where "new algebra'' is identified with "restored analysis''? To
answer this question, I suggest distinguishing between two kinds of
problematic analysis: the former is that described by Pappus at the
beginning of the 7th book of his Mathematical Collection, which I
will call "intra-configurational''; the latter is the one Viète
applied, which I will call "trans-configurational''. In order to apply the
latter kind of analysis, Viète relies on his new formalism. I argue,
however, that the use of this formalism is not a necessary condition for
applying it. I also argue that the same kind of analysis was largely applied
before Viète for solving geometrical problems, by relying on geometrical
inferences of a special sort which I call "non-positional'', since they do
not depend on a diagram. As an example of a similar systematic application of trans-configurational analysis, I consider al-Khayyam's Treatise of Algebra and Al-muqabala. Finally, I suggest that
Viète, when speaking of algebra in the title of his Opus, refers to the system of techniques underlying trans-configurational analysis, that is, to the art of transforming the conditions of certain purely quantitative problems, using either an appropriate formalism relative to the operations of addition, subtraction, multiplication, division, root extraction and solving polynomial equations applied to indeterminate numbers, or appropriate geometrical, non-positional inferences.
François Viète considérait la plupart de ses traités mathématiques comme des parties d'un corpus de textes auquel il donna le titre de Opus restitutæ Mathematicæ Analyseos Seu Algebrâ novâ. Malgré ce titre et le fait que le terme “algèbre” ait été souvent employé
pour designer celle qui est d'habitude considérée comme la principale contribution de Viète aux mathématiques, ce terme ne fait pas partie de son langage technique. Comment doit-on l'entendre, dans le contexte du titre de son Opus, où la “nouvelle algèbre” est identifiée à l' “analyse restaurée”? Pour répondre à cette question, je propose de distinguer deux sortes d'analyse problématique: la première est celle décrite par Pappus au début du VIIe Livre de sa Collection mathématique et que je propose d'appeler “intra-configurationnelle”; la seconde est celle qui est appliquée par Viète et que je propose d'appeler “trans-configurationnelle”. Pour appliquer cette seconde sorte d'analyse, Viète se réclame de son nouveau formalisme. Je maintiens, cependant, que l'usage de ce formalisme n'est pas nécessaire. Je maintiens aussi que cette sorte d'analyse était souvent appliquée avant Viète pour résoudre des problèmes géométriques, en se réclamant d'un type particulier d'inférénces géométriques que j'appelle “non-positionnelles”, car elle ne dépendent d'aucun diagramme. Pour donner un exemple d'une telle application systématique de l'analyse trans-configurationnelle, je me
penche sur le Traité d'algèbre et al-muqabala d'al-Khayyam. Je suggère enfin qu'en parlant d'algèbre, dans le titre de son Opus, Viète se référait au système de techniques sous-jacentes à l'analyse trans-configurationnelle, c'est-à-dire à l'art de transformer les conditions de certains problèmes purement quantitatifs, en utilisant soit un formalisme approprié, concernant les opérations d'addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines et solution d'équations entières appliquées aux nombres, soit des inférences géométriques non-positionnelles.
pour designer celle qui est d'habitude considérée comme la principale contribution de Viète aux mathématiques, ce terme ne fait pas partie de son langage technique. Comment doit-on l'entendre, dans le contexte du titre de son Opus, où la “nouvelle algèbre” est identifiée à l' “analyse restaurée”? Pour répondre à cette question, je propose de distinguer deux sortes d'analyse problématique: la première est celle décrite par Pappus au début du VIIe Livre de sa Collection mathématique et que je propose d'appeler “intra-configurationnelle”; la seconde est celle qui est appliquée par Viète et que je propose d'appeler “trans-configurationnelle”. Pour appliquer cette seconde sorte d'analyse, Viète se réclame de son nouveau formalisme. Je maintiens, cependant, que l'usage de ce formalisme n'est pas nécessaire. Je maintiens aussi que cette sorte d'analyse était souvent appliquée avant Viète pour résoudre des problèmes géométriques, en se réclamant d'un type particulier d'inférénces géométriques que j'appelle “non-positionnelles”, car elle ne dépendent d'aucun diagramme. Pour donner un exemple d'une telle application systématique de l'analyse trans-configurationnelle, je me
penche sur le Traité d'algèbre et al-muqabala d'al-Khayyam. Je suggère enfin qu'en parlant d'algèbre, dans le titre de son Opus, Viète se référait au système de techniques sous-jacentes à l'analyse trans-configurationnelle, c'est-à-dire à l'art de transformer les conditions de certains problèmes purement quantitatifs, en utilisant soit un formalisme approprié, concernant les opérations d'addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines et solution d'équations entières appliquées aux nombres, soit des inférences géométriques non-positionnelles.
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