La théorie des modèles et l'architecture des mathématiques
Résumé
Il y a au moins deux théories des modèles dignes de ce nom. La première, trop peu connue des logiciens, a été esquissée par Tarski dans son article classique de 1936 sur le concept de conséquence logique ; on y retrouve, mutatis mutandis, des idées avancées par Bolzano en 1837 dans sa Wissenschaftslehre (que Tarski ne connaissait pas). Elle est simple et naturelle, et ses concepts fondamentaux sont d'excellentes explications des notions informelles correspondantes. Je lui ai donné par ailleurs le nom de théorie des modèles BT ; mais, en fait, c'est une variante de cette théorie que vise, dans le titre de ce paragraphe I, l'expression " théorie des modèles " (sans guillemets). J'appellerai cette variante MT1. La seconde, trop peu connue des mathématiciens, a fait florès dans les années 50 du siècle dernier, sous l'impulsion notamment de Tarski (encore lui !). Elle explique excellemment nombre de notions à l'oeuvre dans la tradition de l'algèbre de la logique. Ses premiers grands théorèmes remontent aux années 10 et 20. Je l'ai souvent notée par ailleurs MT, mais, en fait, c'est une variante, dite inclusive, de cette théorie que je vise, dans le titre de ce paragraphe, avec l'expression " " théorie des modèles " " (avec guillements). La seule différence entre la " théorie des modèles " et sa variante inclusive est que, dans cette dernière, on n'exclut pas les structures d'interprétation dont l'univers (ou domaine, ou ensemble) de base est vide. Pour être tout à fait général, je devrais plutôt parler de multi-univers (ou multidomaine, etc.) de base, pour prendre en compte le cas où plusieurs sortes d'" individus "1 sont en jeu. Il m'est arrivé par ailleurs de noter MTi la variante inclusive de la " théorie des modèles ", mais, dans cet article, je la noterai MT2. Je suppose MT2 connue et je présente rapidement MT1.
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